If all edges of a rectangular parallelepiped are equal, it becomes a:
Answer: B
A rectangular parallelepiped (cuboid) whose edges are all equal has all sides equal, which makes it a cube. A sphere, cylinder or cone has no edges of this kind, so they are wrong. Answer B. Option B.
यदि एक आयताकार समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएँ बराबर हों, तो यह बन जाता है:
उत्तर: B
जिस घनाभ की सभी भुजाएँ बराबर हों, वह घन बन जाता है। गोला, बेलन और शंकु में ऐसी भुजाएँ नहीं होतीं। अतः सही विकल्प B (घन) है। विकल्प B।
The sides of a triangle are 7 cm, 24 cm, and 25 cm. What is the length of the altitude corresponding to the longest side?
Answer: B
$7^{2}+24^{2}=49+576=625=25^{2}$, so the triangle is right-angled with hypotenuse 25 cm. Area = $\frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ cm$^{2}$. Altitude to the hypotenuse = $\frac{2 \times 84}{25} = \frac{168}{25} = 6.72$ cm. Answer B. Option B.
एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी हैं। सबसे लंबी भुजा के संगत शीर्षलंब की लंबाई क्या है?
उत्तर: B
$7^{2}+24^{2}=25^{2}$ है, अतः यह समकोण त्रिभुज है और सबसे लंबी भुजा (कर्ण) 25 सेमी है। क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 84$ वर्ग सेमी। कर्ण पर शीर्षलंब = $\frac{2 \times 84}{25} = 6.72$ सेमी। अतः सही उत्तर B है। विकल्प B।
Two complementary angles add up to $90^{\circ}$. If one angle is $18^{\circ}$ less than the other, find the angles.
Answer: A
Let the smaller angle be $x$, so the other is $x+18$. Then $x+(x+18)=90$, so $2x=72$ and $x=36$. The angles are $36^{\circ}$ and $54^{\circ}$. Answer A. Option A.
दो पूरक कोणों का योग $90^{\circ}$ होता है। अगर एक कोण दूसरे से $18^{\circ}$ कम है, तो कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: A
माना छोटा कोण $x$ है, तो दूसरा कोण $x+18$ है। $x+(x+18)=90$ से $2x=72$, अतः $x=36$। कोण $36^{\circ}$ और $54^{\circ}$ हैं। अतः सही उत्तर A है। विकल्प A।
The heights of two cones are in the ratio $1:3$, and the radii of their bases are in the ratio $3:1$. What is the ratio of their volumes?
Answer: C
Volume of a cone = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Let $h_1=1$, $h_2=3$, $r_1=3$, $r_2=1$. Then $V_1 : V_2 = \frac{r_1^{2}h_1}{r_2^{2}h_2} = \frac{9 \times 1}{1 \times 3} = 3:1$. Answer C. Option C.
दो शंकुओं की ऊँचाइयों का अनुपात $1:3$ है और उनके आधारों की त्रिज्याओं का अनुपात $3:1$ है। उनके आयतनों का अनुपात क्या है?
उत्तर: C
शंकु का आयतन = $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ है। $h_1=1$, $h_2=3$, $r_1=3$, $r_2=1$ लेने पर $V_1 : V_2 = \frac{9 \times 1}{1 \times 3} = 3:1$। अतः सही उत्तर C है। विकल्प C।
A hemispherical brass bowl has an inner diameter of 28 cm. If the inside of the bowl is to be painted at the rate of ₹30 per cm$^{2}$, what will be the total cost of painting the inner curved surface?
Answer: B
Inner radius $r = 14$ cm. Inner curved surface of hemisphere = $2\pi r^{2} = 2 \times \frac{22}{7} \times 196 = 1232$ cm$^{2}$. Cost = $1232 \times 30 = ₹36960$. Answer B. Option B.
एक अर्धगोलाकार पीतल के कटोरे का आंतरिक व्यास 28 सेंटीमीटर है। यदि कटोरे के अंदरूनी भाग को ₹30 प्रति वर्ग सेंटीमीटर की दर से रंगाना है, तो आंतरिक वक्र पृष्ठ को रंगने की कुल लागत क्या होगी?
उत्तर: B
आंतरिक त्रिज्या $r = 14$ सेमी है। अर्धगोले का आंतरिक वक्र पृष्ठ = $2\pi r^{2} = 2 \times \frac{22}{7} \times 196 = 1232$ वर्ग सेमी। लागत = $1232 \times 30 = ₹36960$। अतः सही उत्तर B है। विकल्प B।
Rita travels a certain fixed distance at her usual speed. If she reduces her speed by 10 km/h, she takes 40 hours more than the original time to complete the journey. On the other hand, if she increases her speed by 15 km/h, she takes 10 hours less than the original time.
Find the distance travelled by Rita.
Answer: C
Let distance be $D$ and usual speed $s$. Then $\frac{D}{s-10}-\frac{D}{s}=40$ and $\frac{D}{s}-\frac{D}{s+15}=10$. Solving gives $s=15$ and $D=300$. Check: $\frac{300}{5}-\frac{300}{15}=60-20=40$ and $\frac{300}{15}-\frac{300}{30}=20-10=10$. Answer C. Option C.
रीता अपनी सामान्य गति से एक निश्चित दूरी तय करती है। यदि वह अपनी गति में 10 km/h की कमी करती है, तो उसे यात्रा पूरी करने में मूल समय से 40 घंटे अधिक लगते हैं। दूसरी ओर, यदि वह अपनी गति में 15 km/h की वृद्धि करती है, तो उसे मूल समय से 10 घंटे कम लगते हैं। रीता द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर: C
माना दूरी $D$ और सामान्य गति $s$ है। तब $\frac{D}{s-10}-\frac{D}{s}=40$ और $\frac{D}{s}-\frac{D}{s+15}=10$। इन्हें हल करने पर $s=15$ और $D=300$ आता है। जाँच: $\frac{300}{5}-\frac{300}{15}=40$ और $\frac{300}{15}-\frac{300}{30}=10$। अतः सही उत्तर C है। विकल्प C।
Let $a=0.05$ and $b=0.04$. The numerator is $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$ and the denominator is $a^{2}-ab+b^{2}$. So the value is $a+b=0.09$. Answer B. Option B.
Ram covered the same distance at the speed of 40 km/hr, 45 km/hr and 60 km/hr. What was the average speed of Ram during the whole journey? (Correct to two decimal places.)
Answer: D
For equal distances the average speed is the harmonic mean: $\frac{3}{\frac{1}{40}+\frac{1}{45}+\frac{1}{60}} = \frac{3 \times 360}{9+8+6} = \frac{1080}{23} = 46.956\ldots \approx 46.96$ km/h. Answer D. Option D.
राम ने 40 km/hr, 45 km/hr और 60 km/hr की गति से समान दूरी तय की। पूरी यात्रा के दौरान राम की औसत गति क्या थी? (दो दशमलव स्थानों तक सही।)
उत्तर: D
समान दूरी होने पर औसत गति हरात्मक माध्य होती है: $\frac{3}{\frac{1}{40}+\frac{1}{45}+\frac{1}{60}} = \frac{1080}{23} = 46.956\ldots \approx 46.96$ km/h। अतः सही विकल्प D है। विकल्प D।
With $a=2.7$ and $b=1.3$, $ab=3.51$, so the denominator is $a^{2}+ab+b^{2}$ and $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-b=1.4$. Squared, $1.4^{2}=1.96$. Answer B. Option B.
$a=2.7$ और $b=1.3$ लेने पर $ab=3.51$ है, अतः हर $a^{2}+ab+b^{2}$ है और $\frac{a^{3}-b^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=a-b=1.4$ है। वर्ग करने पर $1.4^{2}=1.96$। सही उत्तर B है। विकल्प B।
In $\triangle XYZ$, let M be the midpoint of side XY. If the length of the median ZM is 9 cm and G is the centroid, what is the length of segment GM?
Answer: D
The centroid divides each median in the ratio 2:1 from the vertex. So ZG = $\frac{2}{3} \times 9 = 6$ cm and GM = $9 - 6 = 3$ cm. Answer D. Option D.
In $\triangle XYZ$, मान लीजिए M भुजा XY का मध्यबिंदु है। यदि माध्यिका (median) ZM की लंबाई 9 cm है और G केंद्रक (centroid) है, तो रेखाखंड (segment) GM की लंबाई क्या है?
उत्तर: D
केंद्रक किसी माध्यिका को शीर्ष से 2:1 के अनुपात में बाँटता है। ZG = $\frac{2}{3} \times 9 = 6$ सेमी, अतः GM = $9 - 6 = 3$ सेमी। सही उत्तर D है। विकल्प D।
Two workers A and B working together completed a job in 8 days. If A had worked with twice efficiency as he actually did, B had worked with 60% of efficiency as he actually did. The work would have been completed in 6 days. To complete the job alone, B would require how many days?
Answer: B
Let total work be 24 units. Together $a+b=3$ per day (8 days). In the changed case $2a+0.6b=4$ per day (6 days). Solving gives $b=\frac{10}{7}$. B alone takes $\frac{24}{10/7}=16.8=16\frac{4}{5}$ days. Answer B. Option B.
दो व्यक्ति A और B एक साथ काम करते हुए एक कार्य को 8 दिनों में पूरा करते हैं। यदि A ने अपनी वास्तविक क्षमता से दोगुनी क्षमता से कार्य किया होता और B ने अपनी वास्तविक क्षमता के 60% से कार्य किया होता, तो यह कार्य 6 दिनों में पूरा हो जाता। यदि B अकेले कार्य करे, तो वह कार्य कितने दिनों में पूरा करेगा?
उत्तर: B
कुल कार्य 24 इकाई मानें। साथ में $a+b=3$ प्रति दिन (8 दिन)। बदली स्थिति में $2a+0.6b=4$ प्रति दिन (6 दिन)। हल करने पर $b=\frac{10}{7}$। B अकेले $\frac{24}{10/7}=16.8=16\frac{4}{5}$ दिन लेगा। सही उत्तर B है। विकल्प B।
Which of the following numbers is NOT divisible by 3?
Answer: D
Digit sums: 98763 gives 33, 10002 gives 3, 55554 gives 24, and all three are divisible by 3. 71203 gives 13, which is not divisible by 3. Answer D. Option D.
निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या 3 से विभाज्य नहीं है?
उत्तर: D
अंकों का योग: 98763 का 33, 10002 का 3, 55554 का 24; ये तीनों 3 से विभाज्य हैं। 71203 का योग 13 है, जो 3 से विभाज्य नहीं है। सही उत्तर D है। विकल्प D।
How many numbers from 50 to 1000 are divisible by 11?
Answer: B
The first multiple of 11 that is at least 50 is 55 = 11 × 5. The last multiple at most 1000 is 990 = 11 × 90. Count = 90 − 5 + 1 = 86. Answer B. Option B.
50 से 1000 तक कितनी संख्याएँ 11 से विभाज्य हैं?
उत्तर: B
50 या उससे बड़ा पहला 11 का गुणज 55 = 11 × 5 है और 1000 से कम या बराबर अंतिम गुणज 990 = 11 × 90 है। गिनती = 90 − 5 + 1 = 86। सही उत्तर B है। विकल्प B।
P and Q can complete a work in 10 days and 30 days respectively. P starts the work and they work on alternate days. In how many days will the work be completed?
Answer: C
In one 2-day cycle (P then Q) the work done is $\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{2}{15}$. In 14 days (7 cycles) the work done is $\frac{14}{15}$. The remaining $\frac{1}{15}$ is done by P on day 15 at $\frac{1}{10}$ per day, which takes $\frac{2}{3}$ of a day. Total = $14\frac{2}{3}$ days. Answer C. Option C.
P और Q एक कार्य को क्रमशः 10 दिन और 30 दिन में पूरा कर सकते हैं। P काम शुरू करता है और वे बारी-बारी से काम करते हैं। काम कितने दिनों में पूरा होगा?
उत्तर: C
एक 2-दिन के चक्र (पहले P, फिर Q) में किया गया कार्य $\frac{1}{10}+\frac{1}{30}=\frac{2}{15}$ है। 14 दिनों (7 चक्र) में $\frac{14}{15}$ कार्य होता है। शेष $\frac{1}{15}$ कार्य 15वें दिन P करता है, जिसकी दर $\frac{1}{10}$ प्रति दिन है, अतः इसमें $\frac{2}{3}$ दिन लगते हैं। कुल = $14\frac{2}{3}$ दिन। सही उत्तर C है। विकल्प C।
Two ships are sailing on the same side of a lighthouse. The angles of elevation of the top of the lighthouse from them are $30^{\circ}$ and $45^{\circ}$. The lighthouse is 60 m high. Find the approximate distance between the ships.(Take $\sqrt{3} = 1.732$)
Answer: B
Distances from the foot of the lighthouse are $60\cot 30^{\circ}=60\sqrt{3}$ and $60\cot 45^{\circ}=60$. Distance between ships = $60\sqrt{3}-60 = 60(0.732) = 43.92 \approx 44$ m. Answer B. Option B.
एक प्रकाशस्तंभ के एक ही ओर दो जहाज कर रहे हैं। उनसे प्रकाशस्तंभ के शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः $30^{\circ}$ और $45^{\circ}$ हैं। प्रकाशस्तंभ की ऊँचाई 60 m है। जहाजों के बीच की लगभग दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.732$ लें)
उत्तर: B
प्रकाशस्तंभ के आधार से दूरियाँ $60\cot 30^{\circ}=60\sqrt{3}$ और $60\cot 45^{\circ}=60$ हैं। जहाजों के बीच दूरी = $60\sqrt{3}-60 = 60(0.732) = 43.92 \approx 44$ m। सही उत्तर B है। विकल्प B।
If $\tan\theta = \sqrt{3}$, find the value of $\dfrac{\operatorname{cosec}^{2}\theta+\sec^{2}\theta}{\operatorname{cosec}^{2}\theta-\sec^{2}\theta}$.
Answer: D
From $\tan\theta=\sqrt{3}$: $\tan^{2}\theta=3$, $\cot^{2}\theta=\frac13$. So $\operatorname{cosec}^{2}\theta=1+\cot^{2}\theta=\frac43$ and $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=4$. Value = $\frac{\frac43+4}{\frac43-4}=\frac{16/3}{-8/3}=-2$. Answer D. Option D.
यदि $\tan\theta = \sqrt{3}$, तो $\dfrac{\operatorname{cosec}^{2}\theta+\sec^{2}\theta}{\operatorname{cosec}^{2}\theta-\sec^{2}\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: D
$\tan\theta=\sqrt{3}$ से $\tan^{2}\theta=3$ और $\cot^{2}\theta=\frac13$ है। अतः $\operatorname{cosec}^{2}\theta=1+\cot^{2}\theta=\frac43$ और $\sec^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta=4$। मान = $\frac{\frac43+4}{\frac43-4}=-2$। सही उत्तर D है। विकल्प D।
A circle has a diameter of 20 cm. Two equal chords AB and CD are parallel. BC is a diameter of the circle. If chord AB is 6 cm away from the centre, find the length of chord CD (in cm).
Answer: B
Equal parallel chords are equidistant from the centre, so CD is also 6 cm from the centre. Radius = 10, so half-chord = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ and CD = 16 cm. The diameter BC is not needed. Answer B. Option B.
एक वृत्त का व्यास 20 cm है। दो समान जीवाएँ AB और CD समानांतर हैं। BC वृत्त का एक व्यास है। यदि जीवा AB केंद्र से 6 cm की दूरी पर है, तो जीवा CD की लंबाई (cm में) ज्ञात कीजिए।
उत्तर: B
समान समांतर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, अतः CD भी केंद्र से 6 cm पर है। त्रिज्या 10 है, अतः अर्ध-जीवा = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ और CD = 16 cm। व्यास BC की आवश्यकता नहीं है। सही उत्तर B है। विकल्प B।
A tangent is drawn to a circle of radius 55 cm at point A. A chord BC is parallel to this tangent. If the perpendicular distance from centre O to chord BC is 33 cm, what is the length of chord BC?
Answer: C
OA is perpendicular to the tangent, and BC is parallel to the tangent, so OA is perpendicular to BC. Half-chord = $\sqrt{55^{2}-33^{2}}=\sqrt{3025-1089}=\sqrt{1936}=44$. So BC = 88 cm. Answer C. Option C.
एक 55 cm त्रिज्या वाले वृत्त पर बिंदु A पर एक स्पर्श रेखा खींची गई है। एक जीवा BC, इस स्पर्श रेखा के समांतर है। यदि केंद्र O से जीवा BC की लंबवत दूरी 33 cm है, तो जीवा BC की लंबाई क्या है?
उत्तर: C
OA स्पर्श रेखा पर लंब है और BC स्पर्श रेखा के समांतर है, अतः OA, BC पर लंब है। अर्ध-जीवा = $\sqrt{55^{2}-33^{2}}=\sqrt{1936}=44$। अतः BC = 88 cm। सही उत्तर C है। विकल्प C।
Two identical circles, each of radius $r$, are placed such that the distance between their centers is $d$. What is the ratio of the length of their direct common tangent segment to the distance between their centers?
Answer: A
For two equal circles the direct common tangent length is $\sqrt{d^{2}-(r-r)^{2}}=d$. So the ratio is $d:d = 1:1$. Answer A. Option A.
दो समान वृत्त जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है, इस प्रकार अवस्थित हैं कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है। उनके सीधे उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा खंड की लंबाई और उनके केंद्रों के बीच की दूरी का अनुपात क्या है?
उत्तर: A
दो समान वृत्तों की प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{d^{2}-(r-r)^{2}}=d$ है। अतः अनुपात $d:d = 1:1$ है। सही उत्तर A है। विकल्प A।